雞兔同籠解題方法
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列表法、畫圖法、金雞獨立法、吹哨法等。
方法一:人見人愛的列表法
如果二年級小朋友做這道題,可以用列表法,直觀、易理解、還不容易出錯。
分析:根據上面的表格,我們可以看出,雞爲9只,兔子爲5只。我們在列表的時候不要按順序列,否則做題的速度會很慢。比如說列完雞爲0只,兔子爲14只,發現腿的數量56條,和題目裏38條相差較大,那麼下一個你可以跳過雞的`數量爲2只這種情況,直接列雞的數量爲3只,這樣做速度會快一些。
方法二:最快樂的畫圖法
分析:畫圖可以讓數學變得形象化,而且經常畫圖還有助於創造力的培養。假設14只全部是雞,先把雞給畫好。
14×2=28條,差38-28=10條,而每一隻雞補2條腿就變成兔子,需要把5只雞每隻補2條腿,所以有5只兔子,14-5=9只雞。
方法三:最酷的金雞獨立法
分析:讓每隻雞都一隻腳站立着,每隻兔都用兩隻後腳站立着,那麼地上的總腳數只是原來的一半,即19只腳。雞的腳數與頭數相同,而兔的腳數是兔的頭數的2倍,因此從19裏減去頭數14,剩下來的就是兔的頭數19-14=5只,雞有14-5=9只。
方法四:最逗的吹哨法
分析:假設雞和兔接受過特種部隊訓練,吹一聲哨,它們擡起一隻腳,還有38-14=24只腿在站着,再吹一聲哨,它們又擡起一隻腳,這時雞都一屁股坐地上了,兔子還有兩隻腳立着。這時還有24-14=10只腿在站着,而這10只腿全部是兔子的,所以兔子有10÷2=5只,雞有14-5=9只。
方法五:最常用的假設法
分析:假設全部是雞,則有14×2=28條腿,比實際少38-28=10只,一隻雞變成一隻兔子腿增加2條,10÷2=5只,所以需要5只雞變成兔子,即兔子爲5只,雞爲14-5=9只。
方法六:最常用的假設法2
分析:假設全部是兔子,則有14×4=56條腿,比實際多56-38=18只,一隻兔子變成一隻雞腿減少2條,18÷2=9只,所以需要9只兔子變成雞,即雞爲9只,兔子爲14-9=5只。
方法七:最牛的特異功能法
分析:雞有2條腿,比兔子少2條腿,這不公平,但是雞有2只翅膀,兔子卻沒有。假設雞有特級功能,把兩隻翅膀變成2條腿,那麼雞也有4條腿,此時腿的總數是14×4=56條,但實際上只有38條,爲什麼呢?因爲我們把雞的翅膀當作腿來算,所以雞的翅膀有56-38=18只,雞有18÷2=9只,兔就是14-9=5只。
第一類問題
在已知總頭數和總腳數的情況下,求計算雞跟兔子各有多少隻。
例題1、雞兔同時待在一個籠子裏,有雞跟兔子一共26只,細數它們的腳,發現一共有腳68只,請問雞跟兔子分別有多少隻?
這個問題有幾種常見的解題方法:“吹口哨法”、“假設法”、“畫圖法”、“方程式法”。下面我將用這四種方法對上面的例題進行說明。
1、方法一“吹口哨法”
首先在這裏設定,每當口哨聲響起的時候,籠子裏的雞跟兔子都會自覺的擡起兩隻腳。現在讓我們吹起口哨,只聽“嘟……”的一聲,雞跟兔子分別都擡起了兩隻腳。
由於籠子裏一共有雞跟兔子26只,那麼這時,一共減少了26x2=52只腳,籠子裏還剩餘68-52=16只腳。
每隻雞有2只腳,每隻兔子有4只腳,當雞跟兔子都擡起2只腳之後,籠子裏每隻雞還剩餘的腳爲0只,每隻兔子還剩餘的腳爲2只,因此剩餘的16只腳都是兔子的,可以計算得出兔子一共有16/2=8只,進一步計算得出籠子裏雞有26-8=18只。
2、方法二“假設法”
“假設法”是“雞兔同籠”類問題的兩種最常見的解法之一,另一種則是“方程式法”。
這裏我們假設籠子裏全部是雞,雞共有26只,由於每隻雞有2只腳,則一共有26x2=52只腳,但是題目告訴我們籠子裏一共有腳68只,比52只多了68-52=16只腳,因此籠子裏不只有雞,還應該有兔子。
接下來我們來看看籠子裏每增加一隻兔子並減少一隻雞,那麼腳的總數會怎麼變化。由於兔子有4只腳,那麼每增加一隻兔子並減少一隻雞,籠子裏的腳都會增加4-2=2個,要讓籠子裏的腳增加16只,那麼需要增加兔子16/2=8只,也就是說籠子裏需要有8只兔子,18只雞(26-8=18),這樣才能保證籠子裏的腳的總數是68只。
在起初假設的時候也可以假設籠子裏全部是兔子,推理的原理及步驟是一樣的,這裏不做贅述。
3、方法三“畫圖法”
“畫圖法”適合低年級的孩子,也是“假設法”的一種變形。在一張白紙上首先畫上26個圈圈,每個圈圈帶着兩條線(兩隻腳)。
經過計算或者數數,可以得出目前有52只腳,之後從第一個圈圈開始,在兩條黑色的直線之間畫上2條紅線,每畫好一個圈圈,腳的總數就增加2只,直到畫到第八隻圈圈後,這時候腳的總數就變成68只了。
此時,一個圈圈帶着四條直線的是兔子,一個圈圈帶着兩條直線的'是雞,也就是有8只兔子,18只雞。
4、方法四“方程式法”
“方程式法”適合高年級的孩子,需要設一個未知數x。在這題中,我們設籠子裏雞的數量爲x,那麼兔子的數量就爲(26-x),每隻雞有2只腳,每隻兔子有4只腳,籠子裏一共有68只腳,由這些已知條件,我們可以列出一個一元一次方程式:
2*x+4*(26-x)=68
經過計算,得到x=18,即籠子裏雞的數量爲18只,兔子的數量爲26-18=8只。
“雞兔同籠”的問題除了上面最基本的形式外,還有幾種變化形式。
第二類問題
在已知總頭數和雞跟兔子腳數的差數的情況下,同時已知雞的總腳數比兔子的總腳數多,或者已知兔子的總腳數比雞的總腳數多,求計算籠子裏雞跟兔子的數量。
例題2、在一個籠子裏,已知雞跟兔子一共有26只,雞的總腳數比兔子的總腳數多4只,請問籠子裏雞跟兔子分別有多少隻?
這裏我將使用“假設法”來解析。我們假設籠子裏26只全部是雞,那麼雞的總腳數是52只,兔子的總腳數是0只,這時雞的總腳數比兔子的總腳數多52只。
每當增加1只兔子,減少1只雞的時候,兔子增加了4只腳,雞減少了2只腳,一加一減之後,也就是雞的總腳數比兔子的總腳數多出來的總數量減少了6只。
當增加1只兔子並減少1只雞的時候,雞的總腳數比兔子的總腳數多52-6=46只;當增加2只兔子並減少2只雞的時候,雞的總腳數比兔子的總腳數多52-2*6=40只;如此類推,當增加到8只兔子,並減少8只雞的時候,雞的總腳數比兔子的總腳數多了52-8*6=4只,正好跟題目中的已知條件相同。因此,可以得出籠子裏有8只兔子,18只雞。
解決“雞兔同籠”問題的第一種方法:枚舉法(列表法)。
方法很簡單過程很複雜,就是根據不斷變化雞和兔的數量,分別把雞和兔子的腿的的數量填入表格中,知道找到正確的答案爲止,這種方法只適合與課堂教學中的探索和對其他方法的引導,由於這種方法太過笨拙,用時較多,在日常的練習和考試中一般不適用。所以這種方法大家瞭解即可。
解決“雞兔同籠”問題的第二種方法:假設法(矛盾法)。
這種解決“雞兔同籠”問題的主要解決方法之一,該方法主要是根據題目當中的已知條件,對題目進行某種假設,然後按照條件進行推理,找到與題目數量的矛盾之處,最後進行合理的變化從而得出正確的結論。
同時呢,假設法也是奧數題目中經常遇到的方法(這裏僅對於雞兔同籠問題進行講解,其他問題的假設法這裏暫時不再贅述),這種方法關鍵是——通過假設找到與題目中的數量出現的矛盾之處。
我們首先看題目:有若干只雞兔同在一個籠子裏,從上面數,有35個頭;從下面數,有94只腳。求籠中各有幾隻雞和兔?
思考過程:假設籠子裏面35只全是兔子的話,那麼腳的總數應該是:35×4=140(只),但是實際籠子裏只有94只腳,這就與我們假設的出現矛盾了,多出了140-94=46只腳,爲什麼會多出46只腳呢?
因爲籠子裏不全是兔子還有雞,我們把兩隻腳的雞假設成了兔子(現實中一隻兔子比一隻雞多兩隻腳),由於我們的假設而多出了46只腳,多2條腿就有1只雞,那麼多出的46只腿當中有多少個2,就有多少隻雞,我們就用46÷2=23(只),求出了雞的數量,再用35-23=12(只)得出兔子的數量。
我們總結算式:雞的數量=(35×4-94)÷(4-2)=23(只)
兔子的數量=35-23=12(只)
歸納公式:如果假設全是兔子:(總頭數×一隻兔子腳的數量-總腳數)÷(一隻兔子腳的.數量-一隻雞的腳的數量)
當然,我們還可以假設籠子裏全是雞,如果全是雞,腳的總數是35×2=70(只)腳,與實際少了94-70=24(只)腳,由於一直雞比一隻兔子少兩隻腳,每少兩隻腳就有一隻兔子,少24只腳就有:24÷2=12(只)兔子,算出兔子數量,雞的數量就是:35-12=23(只)。
列出算式:兔子的數量=(94-35×2)÷(4-2)=12(只)
雞的數量=35-12=23(只)
歸納公式:如果假設全是雞:(總腳數-總頭數×一隻雞腳的數量)÷(一隻兔子腳的數量-一隻雞的腳的數量)
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